定律

对于任何非惯性系，均有以下式成立, 只是“附加项”的具体形式会随参考系的运动情况而不同。
一般形式（平动 + 转动）是：

$\boxed{\mathbf{a}_{\text{惯}} = \mathbf{a}_{\text{相}} + \underbrace{\mathbf{a}_{O'} + \boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}' + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}')}_{\text{牵连加速度}} \;+\; \underbrace{2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{相}}}_{\text{科里奥利}}}$

应用一:

在匀速转动的圆盘上建立参考系，这是一个典型的非惯性系, 圆盘绕中心轴以恒定角速度 $\omega$ 转动.

$\mathbf{a}_{\text{惯}} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\mathbf{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\mathbf{e}_\theta$

$\mathbf{a}_{\text{相}} = (\ddot{r} - r\dot{\phi}^2)\mathbf{e}_r + (r\ddot{\phi} + 2\dot{r}\dot{\phi})\mathbf{e}_\theta$

非惯性系中的原点没有平动加速度: $\mathbf{a}_{O'} = 0$
匀速转动没有角加速度: $\boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}' = 0$
附加项一: $\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}') = \omega^2r \mathbf{e}_r$

$\mathbf{v}_{\text{相}} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r\dot{\phi} \mathbf{e}_\theta$

附加项二: $2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{相}} = -2 \omega r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_r + 2 \omega\dot{r}\,\mathbf{e}_\phi$

综上, 有:

$\mathbf{a}_{\text{惯}} = \mathbf{a}_{\text{相}} \; + \; \underbrace{(-2r\dot{\phi}\omega - r\omega^2)\mathbf{e}_r + (2\dot{r}\omega)\mathbf{e}_\theta}_{\text{附加加速度}}$

在惯性系中有:

$m\mathbf{a}_{\text{惯}} = \mathbf{F}_{\text{外力}}$

在非惯性系中观察, 有:

$m\mathbf{a}_{\text{相}} = \mathbf{F}_{\text{外力}} + \underbrace{m r\omega^2 \mathbf{e}_r}_{\text{惯性离心力}} \; + \; \underbrace{2m\omega r\dot{\phi} \mathbf{e}_r \; - \; 2m\omega \dot{r} \mathbf{e}_\theta}_{\text{科里奥利力}}$

例: 一物体在某一位置随圆盘转动, 某一时刻突然圆盘变光滑, 求圆盘视角非惯性系下, 极坐标系下的轨迹参数方程

目标: 求 $r(t)$ 和 $\phi(t)$ 参数方程

初始位置: $r(0) = r_0$ , $\phi(0) = \phi_0$

初始速度: $t=0$ 时，物体在转动系中相对静止，即 $\dot{r}(0)=0,\;\dot{\phi}(0)=0$ 。

把相对加速度在极坐标下表达式代入, 无外力:

$(\ddot{r} - r\dot{\phi}^2)\mathbf{e}_r + (r\ddot{\phi} + 2\dot{r}\dot{\phi})\mathbf{e}_\theta = \underbrace{m r\omega^2 \mathbf{e}_r}_{\text{惯性离心力}} \; + \; \underbrace{2m\omega r\dot{\phi} \mathbf{e}_r \; - \; 2m\omega \dot{r} \mathbf{e}_\theta}_{\text{科里奥利力}}$

径向：

$\ddot{r} - r\dot{\phi}^2 = r\omega^2 + 2\omega r\dot{\phi}$

横向：

$r\ddot{\phi} + 2\dot{r}\dot{\phi} = -2\omega\dot{r}$

这是一个二阶非线性耦合常微分方程组

方程组的数学类型
原方程组为：

$\begin{cases} \ddot{r} - r\dot{\phi}^2 = r\omega^2 + 2\omega r\dot{\phi} \\ r\ddot{\phi} + 2\dot{r}\dot{\phi} = -2\omega\dot{r} \end{cases}$

这是一个关于未知函数 $r(t)$ 和 $\phi(t)$ 的自治（autonomous）非线性常微分方程组（因为方程中不显含时间 $t$ ）。由于最高阶导数是二阶，我们可以将其化为一阶系统的标准形式。令

$y_1 = r,\quad y_2 = \phi,\quad y_3 = \dot{r},\quad y_4 = \dot{\phi},$

则原方程可写为一阶动力系统：

$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_3 \\ y_4 \\ y_1(y_4 + \omega)^2 \\ -\frac{2y_3}{y_1}(y_4 + \omega) \end{pmatrix}.$

这是 $\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{f}(\mathbf{y})$ 的形式，属于四维相空间中的连续动力系统。

初始/边界条件
对二阶方程组，要确定唯一解通常需要初值条件（柯西问题），即指定 $t=0$ 时的函数和一阶导数值：

$r(0) = r_0,\quad \phi(0) = \phi_0,\quad \dot{r}(0) = 0,\quad \dot{\phi}(0) = 0.$

这四个条件正好对应四个一阶变量 $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ 的初值，构成适定的初值问题。理论上也可以提边界条件（如指定 $t=0$ 和 $t=T$ 时的状态），但由于系统是时间演化的，通常采用初值表述。

内在结构与可积性
这个方程组看似复杂，实际上具有丰富的数学结构，是完全可积系统（Liouville integrable system）的典型例子：

守恒量（首次积分）
将横向方程改写为全微分形式：

$\frac{d}{dt}\bigl[r^2(\dot{\phi} + \omega)\bigr] = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2(\dot{\phi} + \omega) = \text{常数} = \omega r_0^2.$

这给出一个守恒量（相当于惯性系中的角动量）。将其代入径向方程可得仅含 $r$ 的二阶方程：

$\ddot{r} = \frac{\omega^2 r_0^4}{r^3} = -\frac{d}{dr}\!\left(\frac{\omega^2 r_0^4}{2r^2}\right).$

进一步积分得到“能量守恒”：

$\frac{1}{2}\dot{r}^2 + \frac{\omega^2 r_0^4}{2r^2} = \frac{\omega^2 r_0^2}{2}.$

因此系统拥有两个对合的首次积分（角动量与能量），自由度数为2，属于刘维尔可积系统。解可以通过求积（quadrature）完全得到。